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数学讲座

这几日，各种人员已陆续到位，李不伟也准备开始讲课了。教学场所正是辩理院，而李不伟讲课的教室也正是辩理厅。旧地重游，李不伟心中感慨万千，他上一次来这里的时候还是个无名小卒，这次再来，竟然要给整个大宋的学术精英讲课。但令他极为欣慰的是，现在理宗也不再终日对理学着迷，而开始重视科学技术了。
李不伟这几日现，仅凭周依依与香儿两人抄书显然是进度慢了些，而且抄完这些书并批量印刷估计也要些时日，可自己实在找不出放心的人来抄写这些课本，虽说目前已经有一些来自现代的物品显露给众人，但毕竟与这些知识不同。这些书中有些内容不仅太过前，而且大部分都讲述了其展历史，例如牛顿-莱布尼兹公式是如何创立的，又或是万有引力的现历史等等，而李不伟正是担心众人中有些精明之人会从书中看到后世的历史，对于这些细节问题他也不敢含糊。

接下来的一些天，李不伟便将挑选出来的一百人召集起来，准备开始讲课了。这些挑选出来的人都是各行各业的精英，有些甚至是在当时名声显赫的学者，范东来与他的两个学生范文进，徐永红也在其列。除了范东来等人，其它人中也有些对李不伟有所不服，如今再看到李不伟如此年青，不免心中更加看不起。李不伟对此倒是早有心理准备，看到这些人露出鄙夷之色，也不以为然，心想以后能跟得上我的进度，算你们厉害。

此时教室早已准备好了一块大的黑板，以及一些按李不伟要求准备好的白色粉笔，其实也就是些类似白灰的棒状物，另有专人负责擦黑板，以及每天将黑板重新刷一次。

第一个要讲的是数学，因为李不伟觉得数学是其它所有学科的基础。但因为古代的数学表示方法与现代有很大不同，所以李不伟先决定做些准备工作，他准备将数字的表示法仍然采用阿拉伯数字表示，至于平方，开方，加，减，乘，除等基本运算符号也是采用现代表示方法。于是李不伟先在黑板上写了数字0到9，以及一些运算符号，刚一开始这些人有些不适应，但毕竟这种表示方法简单，因此没过多久，众学者便都已能用这些符号写出简单的运算式了。然后李不伟又讲了负数、小数、分数、有理数、无理数等的含义与表示法，因这些基本概念在古代的数学中已表述，因此上也不难理解，至于实数与虚数的概念却还未曾提起。

众学者见李不伟在上午只是将一些数学表示方法做了些修改，因此都有些不以为然，但众人在这几天打听了李不伟的一些事情，听说李不伟与史冀的比试中轻松胜出之事，再加宗亲自下的命令，心想李不伟必定有些过人之处，因此众学者中许多人都抱着再试试看的态度，心想倘若过了几天仍然没有实质上的内容，便一起要求退出。范东来因见识过李不伟的学识，见众人如此，也没加阻拦，心想不出一天，你们便知道李不伟的厉害了。

不过，其中也有一批学者明显是怀有其它的目的。这些人在李不伟讲课时不断提出一些问题进行刁难，而所提的又都是些古代的算术知识，李不伟对此一无所知，自然也回答不上来，因此只好声称自己对古代的数学未有了解。但这些人却得寸进尺，一天之内已多次进行嘲笑。李不伟心中恼怒之极，但也清楚地知道这些学者必定是受人指使，也许是朝中有些人对史弥远有看法，而史弥远对此又好像持赞成态度，因此这帐就算到自己的头上了。

其实当时的数学知识主要建议在《九章算术》与一些其它知识上，例如沈括就曾著有“隙积术”和“会圆术”，这些研究方法主要是为了解决实际问题而展起来的。例如《九章算术》中，其九章的内容分别为“方田”，即田亩面积计算;“粟米”，谷物粮食的按比例折换;“衰分”，比例分配问题;“少广”已知面积、体积、求其一边长和径长等;“商功”，土石工程、体积计算;“均输”，合理摊派赋税;“盈不足”，即双设法问题;“方程”，即一次方程组问题;“勾股”，利用勾股定理求解的各种问题。这九章在古代学界一直被奉为至上，北宋时朝廷还进行过刊刻，也算是世界上最早的印刷本数学书。

李不伟对《九章算术》并没有研究，甚至可以说是根本就没太注意这事，在他的映像中，阿拉伯数字应该是清朝时期才在中国广为流行的，而古代的一些数学知识，也大都为了解决实际问题而提出一种方案，并没有一种“万能”的数学模型，因此他认为自己所掌握的数学知识应该能在这个时代掀起一场数学革命。

李不伟将进度安排得很快，第二天便已讲到了二元一次方程。此时众学者大部分都已意识到这种新的数字表示方式，以及一些运算符号都能够大大简化数学运算，并且表示方法一目了然，众人一时都有些激动难耐。其实在《九章算术》中已有一次方程组解法、开平方、开立方、一般二次方程解法，而且还在世界数学史上次引入了负数及其加减法运算法则，只是李不伟所讲的则更为深入，并且提出了有理数、无理数、复数的概念，以及三种式—整式、分式、根式，这些内容都围绕着一个中心，即方程，包括整式方程、分式方程、根式方程和方程组。

然后，李不伟又照着课本上的内容，整理出五条基本运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律;两条等式基本性质即：等式两边同时加上一个数，等式不变;等式两边同时乘以一个非零的数，等式不变;三条指数律：同底数幂相乘，底数不变指数相加;指数的乘方等于底数不变指数想乘;积的乘方等于乘方的积。

其实这些内容都是初高中数学中的基本知识点，只是现在由李不伟讲来，众学者已觉得精妙无比，心想这种数学表示法简单且直观，而且计算方便灵活，再加上李不伟所总结出的那些规律，以及大量的演算题，例子等。

就这样，李不伟总共用了十二天，就已将初中与高中的代数全部讲完了，然后他又花了十天时间，将平面几何与立体几何也全部讲了一篇。几何学在古代其实许多数学家都有研究，并且达到了一定的水平，因为只不过当初并没有几何这个称呼。在历史上，几何这个称呼其实一直到十七世界才由中国人徐光启从欧几里得的几何学中翻译过来，译文里的‘平行线’、‘三角形’、‘对角’、‘直角’、‘锐角’、‘钝角’、‘相似’等等中文的名词术语，都是经过他呕心沥血的反复推敲而确定下来的，但李不伟当然不存在自己翻译这一说了，他都是用现代教材直接讲授。如此一来，李不伟所讲的几何自然是更加简单，尤其是一些公理的概念，以及定理的推论，都使众人耳目一新。

其实几何学在中学课本上也只是两三个学期的课程，而且中学生每天还有其它课程要学习，因此每天用于数学学习的时间极为有限。但此时李不伟所面对的都是各个学术界的精英，这些天又是专门讲授数学，众学者理解能力又比普通中学生高出许多，因此进度自然安排得极快。

又过了十几天，李不伟已将平面几何与立体几何全部讲完了。此时已过去了近一月，比李不伟预计的时间出两倍有余。李不伟刚开始的时候之所以将进度安排的如此之快，其实是有自己的想法的。第一，这些学者的理解能力比一般中学生要高出许多，而且都是些对数学颇有根基的人，虽说众学者以前没有接触过一些数学表达式与数字，字母等，但这并不是问题，早在第一天他们就能熟练写出各种运算式了。第二，这批学者听起课来十分认真，再加上李不伟的教学进度安排的紧，因此在讲授期间很少被打断，并且众人都已按李不伟的要求，记录了大量的笔记。有了这些笔记，自然可以在日后继续学习研究，甚至靠着这些人能够再展出适合当时的教材来。但是李不伟没有意识到，学习不仅是时间的多少，也需要有时间消化吸收，因此这个时间比他预计的多出两倍也不奇怪。

接下来是平面坐标系，方程曲线，这些在当时都是新的概念，李不伟在几天前对此已有所讲述，如今专门提出来单独讲解，当然就更有深度了。其实这些内容都是解析几何的内容，李不伟按后世的划分方法，将解析几何又分作平面解析几何和空间解析几何。在平面解析几何中，除了研究直线的有关直线的性质外，主要是研究圆锥曲线，即圆、椭圆、抛物线、双曲线的有关性质。在空间解析几何中，除了研究平面、直线有关性质外，主要研究柱面、锥面、旋转曲面。

其实数学讲到现在才算进入正题，按李不伟的话说，坐标法才是初级数学的精髓，对于解决日常问题的步骤则是：先在平面上建立坐标系，把已知点的轨迹的几何条件翻译成代数方程，然后运用代数工具对方程进行研究。最后把代数方程的性质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题的答案。

李不伟原先对数学的教学量估计有些不准确，他原以为只需要不到十五天就能完成整个中学数学的教学了，没想近一个月下来，竟然又过了二十多天。其实他在讲一些内容的时候，为了更好地说明这些数学知识的应用，几乎花了一半的时间来讲一些应用题，以及一些源于实际生活中的算术求解，例如各种面积计算，体积计算，其实也都是些简单应用题。只不过为了让众人更好地理解，李不伟总是要讲许多例子，因为他认为例子是说明理论的最好方法。但此时李不伟遇到了一个问题，就是在讲这些应用题的时候，一些单位总是将自己搞得糊涂，例如面积单位，长度单位，度的表示法等。尽管如此，李不伟心想现在既然在讲数学，这些内容倒先不忙，可以先按旧时的计量单位先凑合着，但如果要开始讲授物理等学科，则一定要将计量单位标准化，否则连公式都没法套用。

此时众人早已听得如醉如痴，这五十多天以来，几乎每项人都已记录下了几百页的笔记，更有数十人废寝忘食，为了节省路上的时间，甚至晚上都在辩理院的其它房间或者就在教室休息。而以前故意为难的那批学者，也早已加入了学习的行列，竟然在以后的一段时间内再也没有出现过故意为难的事。所有的这些都是李不伟没有意料到的，同时也让朝庭众臣大为吃惊。李不伟见此情形，便奏请理宗，在辩理院修建一座临时宿舍。

同时，李不伟又叫人印刷了一批开方表，三角函数表，对数表，大大方便了教学。这两个月其间，他每天过十二个小时都待在教室，与众人早已混得熟了，李不伟讲课风趣幽默，与当时的教学师傅大为不同，众人虽都已成*人，甚至有的已过五十岁，但仍然为李不伟的讲课方式所触动，以至于李氏教学法在后来广为流传，大大改善了当时苦闷刻板的教学方式。

在李不伟的安排中，只需要讲到高中数学，便可以将数学暂停下来，转而讲授物理学的基本知识，并且主要集中在力学与运动学上。因此李不伟特意安排了两天的休息时间，一来因为周依依与香儿所抄写的课本已完成了大部分，并且已成批印刷出来，二来自己也需要休息一下，毕竟这五十多天的负荷工作，他也有些吃不消。

周依依见李不伟终于有时间得以休息，便与香儿暂停了抄书的工作，特意做了些可口的饭菜。其实李不伟在辩理院讲课时，周依依每天都让人去送饭。辩理院距李不伟所住的地方将近十里，饭菜送过去时已有些凉了，尽管如此，中午的饭却必定是周依依亲自做好，由香儿送过去，或是自己也亲自过去，直到看着李不伟全部吃完，这才满意。李不伟因教学繁忙，每次吃完饭连说话也来不及，便又急匆匆地跑进教室，因为众学者以比他更快的度吃完饭，早在教室中等候了。而到了晚上，李不伟已疲惫不堪，吃完晚饭便倒头大睡。

这一个多月以来，李不伟有几天也到火器厂去看看，但去了火器厂却更加繁忙。新厂是在铸剑厂的旧址地扩建，面积增加了近十倍，这几日正忙得热火朝天，眼看着新厂就要完工了。

不过好在李不伟终于能在家中待上两日，周依依自然要好好犒劳一下李不伟了。几人刚吃过午饭，却又被告知说有人求见。李不伟颇为惊讶，因为自从住到临安，还没有人登门拜访过，待见到来人后，竟然现是范东来，另外还有石仲秋、王思维、史可三人。李不伟这另外三人也比较熟悉，都是这一百名学者之中的人，而且史可与王思维还是昭文馆中的学士，石仲秋则是集贤院的学士。

在宋朝时，设有昭文馆、史馆、集贤院，称为三馆，掌理秘书图籍等，集贤院设有大学士，通常由宰相兼领，如今这崇文院的大学士，自然也是史弥远了。另外，三院还设有学士、直学士、修撰、校理等官职，至于崇文院，其实也可以理解为皇家图书馆，而要成为学士，必然要在某一学科上有所精通。沈括当年也曾在史馆中任过职，由此可见崇文院中人学者大都是当时各界的精英。

李不伟对于石仲秋、王思维、史可三人的印象还是极为深刻的，这三人年纪相仿，都有三十多岁，一开始并没有加入范东来的抗议行列，但在李不伟讲课的第一天，便在课堂上质问李不伟，声称算术自古展至今，已颇为完善，又何必进行改革，甚至还将数字的写法也进行改变。李不伟当时并没有正面回答此问题，只是简单讲了一下其中的好处，便又接着讲课了，但这三人却各自带着一帮人不断提出各种问题进行刁难，直到过了两天，这才现李不伟所讲的精妙之处，一时三人都有些不好意思，言语上对李不伟也客气了许多，李不伟见状也只是笑笑，心想我哪有那么多的时间和你们每个人都番道理。到了后来，这几人竟然颇为用功，已成为众学者中的佼佼者，李不伟一时也惊讶几人的理解能力与领悟能力，在课后便与这几位的交流也多了些。

李不伟与四人聊了一会，才知道四人又是为了教学的事前来拜访的。原来史可与石仲秋专于机械制造，而王思维不仅对于机械制造精通，还精于数学。几人早已对李不伟与史冀的赌约有所耳闻，只是在比试后史弥远严令保密，当时在场的十几位大臣与一百多名官兵都对此缄口不言，因此众人也只能略为知道个大概，但李不伟用一百工匠完胜史冀的一百精兵却是众所周知的。因此这几人一番商议，却达成了共识，都认为数学只是一种工具，只是为其它学科服务的一种工具，而李不伟当时之所以能胜了史冀，必定是用了建立在数学基础上的某种新技术，虽说兵器制造属于绝密，可几人想如果能将这些知识用到日常生产上，也未尝不是一件好事。这几日刚好休息，因此几人一经商议，便一起来见李不伟。

李不伟听了几人的想法，已知所以，笑道：“众位大人先别急，其实我也是如此想的，这次的数学讲授完毕后，我准备开始讲一些物理学了。只是数学这一科实在太过博大精深，我这几十天所讲的内容，用于简单的日常计算固然是足够了，但如果要进行更为复杂的计算，却是远远不足。”

几人听了李不伟所言，心中吃惊，心想这一段时间以来所听到的数学方法已经比过去不知道先进了多少倍，平日的一些难题用这种方法都可以迎刃而解，而听李不伟所说，目前的数学竟然还远远不够？

见到几人的神色，李不伟也不说话，在纸上画了一个坐标与一条曲线，说道：“各位请看，这是一个曲线方程的二维表示，如果现在要计算出曲线与横轴之间的面积，各位可有方法？”

几人凝神想了一会，都觉得没有太好的方法，范东来犹豫了一下说道：“是否可以将此部分分为若干个更小的方块与不规则形，然后逐一算出面积再求和？”

李不伟笑道：“正是如此，只是范大人所说的这种方法，已有更为简单的途径可以实现。”李不伟当下又将高等数学中的微积分知识简单讲了一下，众人已隐隐听得有些明白。李不伟笑道：“其实呢，一是因为这些数学知识暂时还用不到，二来刚刚结束了为期五十天的讲授，众位学者还需要时间来理解，因此我想将高等数学的知识稍稍搁置一下，众位大人也不必心急，随后不久我将会开始高等数学的讲授。而在此之前，我还有一些物理方面的知识与众位探讨。”

几人连忙说道：“不敢，不敢，一切听从李大人安排。”

李不伟看着眼前几位年青学者，心中一动，突然说道：“众位大人，关于教学一事，在下一人实在难以将这些知识普及开来，近两个月以来，虽说我整日在辩理厅中讲授，却也只能讲给一百人而已，如果要将这些知识更为广泛地传播开来，不知众位大人有何良策？”

几人想了一会，范东来道：“李大人所言甚是，学术理论只有在广为普及的情况下，才能被更多的人所接受，才能让这些理论创造出应有的价值。在下有一提议，李大人可在这一百人中选出二十名，分派出去专讲数学。如此一来，李大人便可暂时从数学教授任务中暂时脱出身来了。”

此议一出，几人同声赞好，其实李不伟早先也有类似想法，只不过李不伟是准备将这一百人同时派出去讲学，而范东来却是只选二十名出去。

李不伟权衡了一下，决定还是采用范东来的提议，因为如果将全部人都派了出去讲学，其中必定有些其它行业的精英，例如眼前这几位机械行家也一并加入了教师队伍。这样一来，让这批精英们去讲课显然是浪费了些，而且自己的其它课程便要暂停了，例如物理这门学科就离不开数学，因此没有第一批中的人参与听讲，这物理学科也没办法讲下去。

只听王思维又道：“范大人所言甚是，所派出之人，可以马上开始进行讲学，只是到底该讲给谁听，却是需要朝庭成立专门的机构来组织安排了。”

李不伟听得心中一震，心道：“是啊，如果要成立一个或几个类似学校的教学机构，所教授的又都是些与圣贤书无关的内容，不知道朝庭会不会批准？况且这一来等于要触动整个大宋教育体制的根基，此事牵涉甚广，也不是我一人之力能解决得了的。”

几人看李不伟面现忧色，知他所想之事，也想不出良策，一时都沉默不语。过了一会，李不伟笑道：“此事目前虽然可以讨论一下，但要真正落实却需要些时日，仅是这教学场地的准备，也要个把月，再说教学书籍尚未完全准备好，因此倒也不急于一时。”

几人连连称是，史可道：“李大人，据我观察，众学者虽然能跟得上大人的讲学进度，可要灵活运用，尚需些时日，其中尤以解析几何为甚。况且李大人曾说过，新学科都是以数学作为基础，而精于机械制造的高级工匠又不在这第一批的百人当中，因此李大人是否可以考虑再增加几百人进来，这几日由我等先讲授些数学知识，如此一来，等到李大人开始讲新学科时，这批人也能跟得上。”

李不伟连续工作数日早已有些疲倦，听得几人自告奋勇，当下喜道：“如此甚好，一来我可以再做些其它准备工作，二来增加了人数，以后的事自然就容易多了，只是要辛苦众位大人了。”

几人又是客气一番，范东来看到周依依在一旁嘟着嘴一脸不高兴的样子，使了个眼色，几人会意，便告辞离去。

如此一来，李不伟便停课三十天，但众学者却不得轻松，李不伟安排他们将前些日子已拿到手的数学教材进行校验、修改，然后让已有成就的一些数学学者再加入自己的一些见解，并让王思维作为主编进行把关。

众学者自然愿意加入到全国教材的修订工作，更有些人为了在教材中加入自己的理论与见解，争得不可开交，就差大打出手了。

注：中学的数学，通常中学生需要学三四年，每年学习一百天，每天2小时，大约时。文中的50天总共12时，而且没有消化理解的时间。不过作者认为古代学者的理解能力要高于现代中学生。因此成法起了作用）